distribusi normal

MAKALAH MATEMATIKA II

DISTRIBUSI NORMAL (KURVA DAN PENGGUNAANNYA)

DOSEN PENGAMPU : OCTARINA H.S, M.Pd

DISUSUN OLEH :

1.                 NUR AINI DIAN PRASTYOWATI         (14.141.108)

2.                 DWI KRISTIANA                                     (14.141.116)

3.                 NUR AFIANA                                           (14.141.125)

4.                 DINI MARISYA RANI                             (14.141.130)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN

IKIP PGRI MADIUN

2015

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis penjatkan kehadirat Allah SWT, yang atas rahmat-Nya maka kami dapat menyelesaikan penyusunan materi yang berjudul “ Distribusi Normal (Kurva dan Pengunaannya) ”. Tujuan pembuatan makalah ini adalah untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika 2 semester 2.

Dalam penyusunan materi ini, tidak sedikit hambatan yang penulis hadapi. Namun penulis menyadari bahwa kelancaran dalam penyusunan materi ini tidak lain berkat bantuan dan dorongan berbagai pihak. Tak lupa penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ibu Octarina H.S selaku dosen pengampu mata kuliah Matematika 2 yang telah membimbing dan mengarahkan penulis dalam pembuatan materi ini.

Penulis merasa masih banyak kekurangan-kekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan kemampuan yang penulis miliki. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat penulis harapkan demi penyempurnaan pembuatan materi ini.

Akhir kata penulis berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat dan menjadi sumbangan pemikiran bagi pihak yang membutuhkan, khususnya bagi penulis sehingga tujuan yang diharapkan dapat tercapai, Amiin. 

MADIUN,   MEI 2015

PENULIS.

DAFTAR ISI

Halaman judul ........................................................................................................... i

Kata Pengantar .......................................................................................................... ii

Daftar isi . ................................................................................................................. iii

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... iv

1.      Latar Belakang ........................................................................................ iv

2.      Rumusan Masalah ................................................................................... iv

3.      Tujuan Penulisan ..................................................................................... v

BAB II PEMBAHASAN ......................................................................................... 1

1.      Pengertian distribusi normal .................................................................... 1

2.      Karakteristik distribusi normal ................................................................ 2

3.      Sifat- sifat distribusi normal..................................................................... 3

4.      Jenis  – jenis  distribusi probalitas normal ............................................... 3

5.      Luas di bawah kurva probalitas .............................................................. 4

6.      Kurva distribusi normal ........................................................................... 5

7.      Pedoman  mencari luas di bawah kurva normal....................................... 5

8.      Tabel Distribusi normal ........................................................................... 7

9.      Soal – soal ............................................................................................... 8

BAB III PENUTUP ................................................................................................. 14

3.1  Kesimpulan ............................................................................................. 14

3.2  Kritik dan saran ....................................................................................... 15

DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................. 16

BAB I

PENDAHULUAN

1.        Latar Belakang

Dikenalnya distribusi normal diawali oleh kemajuan yang pesat dalam pengukuran pada abad ke 19. Pada waktu itu,  para ahli matematika dihadapkan pada suatu tantangan mengenai fenomena variabilitas pengamat atau interna yang artinya bila seorang mengadakan pengukuran berulang-ulang maka hasilnya akan berbeda-beda.

Yang menjadi pertanyaan adalah nilai manakah yang dianggap paling tepat dari semua hasil pengukuran tersebut. Maka kemudian berdasarkan kesepakatan maka nilai rata-rata dianggap paling tepat dan semua penyimpangan dari rata-rata dianggap suatu kesalahan atau error.

Abraham de Moivre adalah yang pertama kali memperkenalkan distribusi normal ini dan kemudian dipopulerkan oleh Carl Fredreich Gauss. Sehingga nama lain distribusi ini adalah distribusi Gauss.

Gauss mengamati hasil dari percobaan yang dlakukan berulang-ulang, dan dia menemukan hasil yang paling sering adalah nilai rata-rata. Penyimpangan  baik ke kanan atau ke kiri yang jauh dari rata-rata, terjadinya semakin sedikit. Sehingga bila disusun maka akan terbentuk distribusi yang simetris.

2.        Rumusan Masalah

1.      Apa yang dimaksud distribusi normal ?

2.      Bagaimana karakteristik distribusi normal ?

3.      Bagaimana sifat distribusi nrmal ?

4.      Bagaimana jenis – jenis distribusi probalitas normal ?

5.      Bagaimana luas di bawah kurva probalitas ?

6.      Bagaimana kurva distribusi normal ?

7.      Apa pedoman mencari luas di bawah kurva normal ?

3.        Tujuan Penulisan

1.      Untuk mengetahui distribusi normal

2.      Untuk mengetahui  karakteristik distribusi normal

3.      Untuk mengetahui sifat distribusi nrmal

4.      Untuk mengetahui jenis – jenis distribusi probalitas normal

5.      Untuk mengetahui luas di bawah kurva probalitas

6.      Untuk mengetahui kurva distribusi normal

7.      Untuk mengetahui pedoman mencari luas di bawah kurva normal

 BAB II

PEMBAHASAN

DISTRIBUSI NORMAL 

Pertama kali diperkenalkan oleh Abraham de Moivre (1733). De Moivre menemukan persamaan matematika untuk kurva normal yang menjadi dasar dalam banyak teori statistik inferensial (induktif). Menurutnya suatu peubah acak X dengan rata-rata (μ) dan varians (σ2) mempunyai fungsi densitas : 

f(x)= 1/(σ√2π)  e〖□(□(□(-1)/2)) 〗^([(x-μ)/σ]^2 )

Dimana π=Konstanta yang nilainya sama dengan 3.1416

e = Konstanta yang nilainya sama dengan 2.7183

μ=parameter yaitu rata-rata distribusi populasi             

σ = parameter yang merupakan simpangan baku distribusi populasi 

X = peubah kontinu yang daerah (jangkauan) nilainya - ∞<x< ∞

Sehingga dengan rata-rata (μ) dan varians (σ2) yang diketahui, maka seluruh kurva normal dapat diketahui.

Distribusi normal lebih lanjut dikembangkan oleh Piere Simon de Laplace dan kemudian Legendre pada tahun 1805. Sementara Gauss mengklaim telah menggunakan distribusi normal sejak tahun 1794, dan hingga kini distribusi normal sering disebut sebagai distribusi Gauss.

Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata(μ) nol dan simpangan baku (σ) satu. Grafiknya disebut kurva normal, oleh Jouffret (1872) disebut kurva lonceng/genta (bell curve). 

Karakteristik Distribusi Normal

Suatu distribusi data dikatakan berdistribusi normal apabila data berdistribusi simetris, yaitu bila nilai rata-rata, median dan modus sama. Karakteristik distribusi normal antara lain:

1. Grafiknya akan selalu di atas sumbu datar x

2. Bentuk grafiknya simetris terhadap x = μ.

3. Mempunyai satu modus (unimodal)

4. Grafiknya mendekati (berasimptot) sumbu datar x

5. Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri.

Bentuk kurva yang tidak memiliki kriteria di atas dikenal dengan distribusi tidak simetris (distribusi menceng kekiri atau kekanan). 

Sifat – sifat Distribusi Normal 

Rata-ratanya (mean) μ dan standard deviasinya = σ

Mode (maximum) terjadi di x = μ

Bentuknya simetrik terhadap x = μ

Titik belok tepat di x = μ ± σ

Kurva mendekati nol secara asimptotis semakinx jauh dari x = μ

Total luasnya = 1 

Jenis-Jenis Distribusi Probabilitas Normal

Distribusi kurva normal dengan m sama dan s berbeda

Distribusi kurva normal dengan m berbeda dan s sama

Distribusi kurva normal dengan m dan s berbeda

Luas di Bawah Kurva dan Probabilitas

Sebuah kurva normal, sangat penting dalam menghitung peluang sebab daerah yang ada dalam kurva tersebut menunjukkan besarnya peluang. 

Dalam kajian statistika, luas daerah yang menunjukkan besarnya peluang itu disusun dalam sebuah daftar (tabel). Daftar (tabel) tersebut adalah daftar (tabel) distribusi normal baku (standar). 

P (x1 < x < x2 ) = probabilitas variable random x memiliki nilai antara x1dan x2

P(x1 < x < x2) = luas di bawah kurva normal antara x = x1 dan x = x2

Oleh karena perhitungan integral normal tersebut sulit, maka disusunlah daftar (tabel) nilai rapat probabilitas. Akan tetapi karena nilai rapat probabilitasnya tergantung pada μ dan σ maka sangatlah tidak mungkin  mentabelkan untuk semua nilai μ dan σ. 

Kurva DIstribusi Normal Standard 

Seperti diketahui, distribusi normal baku (standar) adalah distribusi normal dengan mean μ = 0 dan standard deviasi σ = 1. 

Transformasi 〖Z= 〗^((X- μ)/σ) memetakan distribusi normal 

Menjadi distribusi normal baku (standar), sebab distribusi normal dengan variabel z ini memiliki mean = 0 dan standar deviasi = 1. 

Transformasi ini juga mempertahankan luas di bawah kurvanya, artinya: 

Luas dibawah kurva distribusi normal antara x1 dan x2 sama dengan Luas dibawah kurva distribusi normal standard antara z1 dan z2 

〖z1= 〗^(((x1- μ))/σ)         Dan            〖z2=〗^(((x2- μ))/σ)

Sehingga cukup di buat tabel distribusi normal baku (standard)  kumulatif  saja ! 

Pedoman Mencari Luas Di Bawah Kurva Normal

Untuk mempermudah dalam mencari luas di bawah kurva normal, perlu diperhatikan beberapa hal berikut :

1. Hitung luas z hingga dua desimal, misal z = 0,18

2. Gambarkan kurvanya

3. Letakkan harga z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal hingga memotong kurva.

4. Luas daerah yang tertera dalam daftar adalah daerah antara garis vertikal yang ditarik dari titik harga z tadi dengan garis tegak di titik nol.

5. Dalam daftar distribusi normal baku, harga z pada kolom paling kiri hanya memuat satu desimal dan desimal kedua dicari pada baris paling atas. 

6. Dari z kolom paling kiri, maju ke kanan dan dari z pada baris paling atas turun ke bawah, maka diperoleh bilangan yang merupakan daerah yang dicari (biasanya ditulis dalam empat desimal).

7. Karena luas seluruh kurva adalah satu satuan luas persegi, dan kurva simetris di titik 0, maka luas dari garis tegak pada titik nol ke kiri ataupun ke kanan adalah 0,5 satuan luas.

8. Untuk mencari nilai z, jika luasnya diketahui lakukan kebalikan point 6. Misal : diketahui luas daerah di bawah kurva normal = 0,3944 maka dalam tabel dicari angka 0,3944 lalu menuju ke kiri sampai pada kolom paling kiri (kolom z) diperoleh angka 1,2 selanjutnya kembali ke angka 0,3944 lalu menuju ke atas sampai pada baris paling atas, dan diperoleh angka 5 jadi harga z yang diperoleh adalah 1,25. 

Tabel : Distribusi Normal Baku

Z

.00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 0.8 .09

0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 0.279 .0319 .0359

0.1 .0398 0.438 0.478 .0517 0.557 .0596 .0636 0.675 .0714 .0753

0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141

0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517

0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879

0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224

0.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549

0.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852

0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133

1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621

1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830

1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015

1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177

1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319

1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441

1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545

1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4645

1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706

1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767

2.0 .4772 .4778 .4783 .4783 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817

2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857

2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890

2.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916

2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936

2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952

2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964

2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974

2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981

2.9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4986

3.0 .4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990

Sumber : Freund, J. E. dan R. E. Walpole, 1987. Mathematical Statistics. Englewood Cliffs, New Jersey : Pretice Hall Inc. 

Soal – soal

Tentukan luas daerah yang ditunjukkan oleh z = 0.43 ?

Penyelesaian : 

Z_0,43 ( lihat tabel z ) 

Z_0,43= 0,1664

Tentukan luas daerah kurva normal antara z = 1.15 dan 2.25 ?

Penyelesaian :

Z_1,15 = 0,3749

Z_(2,25 )= 0,4878

L = Z_(2,25 )  -  Z_1,15

= 0,4878 – 0,3749

= 0,1129  

Tentukan luas daerah kurva normal antara Z = - 0,52 dan – 1,85 

Penyelesaian : 

z_(0,52 )=0,1985 

z_(1,85 )=0,4678 

Luas = z_(1,85 )- z_(0,52 )

= 0,4678 – 0,1985 

= 0,2693 

Variabel X terdistribusi normal dengan mean 50 dan standard deviasi=10. Carilah probabilitas untuk menemukan X bernilai antara 45 dan62?

Penyelesaian : 

Dalam soal ini μ= 50 dan σ=10. x_1= 45 dan x_2=62

Pertama kita mapping(transformasi) x ke z (melakukan normalisasi atau standardisasi):

z_1= (x_1- μ)/σ= (45-50)/10= -0,5

z_2= (x_2- μ)/σ= (62-50)/(10 )=1,2 

Sehingga (45 < x < 62 ) = P( - 0,5 < z < 1,2 ) 

P (-0,5 < z < 1,2 ) = P ( z < 1,2 ) – P ( z < - 0,5 ) 

= 0,3461 – 0,0199 

= 0,3262 

Rerata tinggi badan 2000 mahasiswa ikip pgri madiun adalah 160 cm dengan deviasi baku 4 cm. Dengan menganggap bahwa data tersebut adalah populasi yang berdistribusi normal, carilah berapa banyak mahasiswa :

Yang tinggi badannya lebih dari 166 cm ?

Yang tinggi badannya antara 150 cm dan 165 cm ?

Penyelesaian : 

Kita menggunakan rumus z= (X- μ)/σ

x_(1 )=166 →z_1= (166-160)/(4 ) = 1,5000

Luas = 0,5000 – 0,4332 = 0,0668

Berarti P( X > 166 ) = ( Z > 1,5000)

=  0,0668 

Jadi, banyak mahasiswa yang tingginya lebih dari 166 cm adalah (0,0668)(2000) = 134 orang. 

x_1=150 → z_(1 )= (150-160)/4        = -2,5000

x_2=165 → z_2= (165-160)/4  =   1,2500

Luas = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882 

Berarti  P( 150 < X < 165 ) = P ( - 2,50 < Z < 1,25 ) = 0,08882. 

Jadi, banyak mahasiswa yang tingginya antara 150 cm dan 165 cm adalah (0,08882)(2000) = 1776 orang.

Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3.750 gram dengan simpangan baku 325 gram. Jika berat bayi berdistribusi normal, maka tentukanlah:

a. Berapa persen yang beratnya lebih dari 4.500 gram?

b. Berapa bayi yang beratnya 3.500 gram dan 4.500 gram, jika semuanya ada 10.000 bayi?

c. Berapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 4.000 gram jika semuanya ada 10.000 bayi?

d. Berapa bayi yang beratnya 4.250 gram apabila semuanya ada 5.000 bayi?

Penyelesaian : 

X = 4500 μ  = 3750 σ = 325  

Z = (X- μ)/σ

  = (4500-3750)/325=2,31 

Luas daerah kurva dengan nilai z = 2,31 adalah 0,4896

Bayi yang memiliki berat lebih dari 4.500 gram, pada grafiknya ada di sebelah kanan z = 2,31.

Luas daerah kurva ini adalah 0,5 – 0,4896 = 0,014. Jadi bayi yang memiliki berat lebih dari 4.500gram ada 1,04% 

Z =  (X- μ)/σ 

 = (3500-3750)/325= -0,77 

Luas daerah kurva dengan nilai z = -0,77 adalah 0,2794 dan luas daerah dengan nilai z = 2,31 adalah 0,4896. Luas daerahnya adalah 0,2794 + 0,4896 = 0, 7690. 

Jadi banyak bayi yang memiliki berat badan 4500 gram kira-kira ada 0,7690 x 10.000 = 7.690

Bayi yang memiliki berat lebih kecil atau sama dengan 4.000 gram, maka beratnya harus lebih kecil dari 4000,5 gram.

z= (4000,5-3750)/325=0,77

Luas daerah kurva dengan nilai z =0,77 adalah 0,2794. Perkiraan bayi yang memiliki berat lebih kecil atau sama dengan 4.000 gram adalah : 0,5 + 0,2794 = 0,7794 . Banyak bayi yang memiliki berat lebih kecil atau sama dengan 4.000 gram adalah 0,7794 x 10.000 = 7794.

Bayi yang memiliki berat 4.250 gram berarti beratnya ada diantara 4.249,5 gram dan 4.250,5 gram.

X = 4249,5 X = 4250,5 

z= (4249,5-3750)/325=1,53

z= (4250,5-3750)/325=1,54  

Luas daerah kurva dengan nilai z = 1,53 adalah 0,4370

Luas daerah kurva dengan nilai z = 1,54 adalah 0,4382

Luas daerah kurva yang perlu adalah: 0,4382 –0,4370 = 0,0012

Jadi banyak bayi yang memiliki berat 4.250 gram adalah : 0,0012 x 5.000 = 6.

Sebuah perusahaan bola lampu pijar mengetahui bahwa umur lampunya (sebelum putus) terdistribusi secara normal dengan rata-rata umurnya 800 jam dan standar deviasinya 40 jam. Carilah probabilitas bahwa sebuah bolam produksinya akan:

a. Berumur antara 778 jam dan 834 jam

b. Berumur kurang dari750 jam atau lebih dari 900 jam

Penyelesaian : 

Diketahui : μ=800 dan σ=40 

Berumur antara 778 jam 843 jam 

P(778 < x < 843) 

x_(1 )= 778 → z_1= [x_(1- μ)/σ]=[(778-800)/40]= -0,55

x_(2  )= 843 → z_2= [x_(2- μ)/σ]=[(843-800)/40]=0,85

P (778 < x < 843) = P( - 0,55 < z < 0,85)

 = P(z < 0,85) – P(z < - 0.55) 

= 0,3022 – 0,2088 = 0,0934

Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam 

P(x < 750 atau x > 900)

x_1 = 750 → z_1= [x_(1- μ)/σ]= [(750-800)/40]= -1,25

x_2=900 → z_2=[z_(2- μ)/σ] = [(900-800)/40] = 2,5

P(x < 750 atau > 900) = P(z < - 1,25 ) + P (z > 2,5)

= P(z < -1,25) + 1 – P(z < 2,5)

= 1 + P(z < -1,25) – P(z < 2,5)

= 1 + 0,3944 – 0,4798 = 0,9146 

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan 

Distribusi normal standard (baku) adalah distribusi normal yang memiliki sifat khusus, yaitu distribusi dengan : rata-rata(µ) = nol(0) dan simpangan baku(σ) = satu(1). Distribusi normal standard (baku) muncul sebagai solusi dari adanya masalah dalam penyusunan tabel distribusi normal. Masalah tersebut ialah kenyataan bahwa terdapat banyak sekali macam distribusi normal dipengaruhi oleh nilai rata-rata dan simpangan baku nya. Oleh karena itu agar kita tetap dapat mencari probabilitas suatu interval dengan menggunakan langkah praktis melalui tabel distribusi normal daripada perhitungan metode integral yang lebih kompleks, maka digunakanlah apa yang disebut dengan distribusi normal standard (baku).

Distribusi normal sangat sesuai dengan distribusi empiris, sehingga dapat dikatakan bahwa semua kejadian alami akan membentuk distribusi ini. Karena alasan inilah sehingga distribusi ini dikenal sebagai distribusi normal dan grafiknya dikenal sebagai kurva normal atau kurva gauss.

3.2 Kritik dan Saran 

Demikian yang dapat kami paparkan mengenai materi yang menjadi pokok bahasan dalam makalah ini, tentu nya masih banyak kekurangan dan kelemahan yang masih jauh dari kata sempurna, kedepannya penulis akan lebih focus dan detail dalam menjelaskan tentang makalah di atas dengan sumber – sumber yang lebih banyak yang tentunya dapat di pertanggung jawabkan. . 

    Penulis banyak berharap para pembaca yang budiman sudi memberikan kritik dan saran yang membangun kepada penulis demi sempurna nya makalah ini dan dan penulisan makalah dikesempatan-kesempatan berikut nya. Semoga makalah ini berguna bagi penulis pada khusus nya juga para pembaca yang budi man pada umum nya.

DAFTAR PUSTAKA

Freund, J. E. dan R. E. Walpole, 1987. Mathematical Statistics. Englewood Cliffs, New Jersey : Pretice Hall Inc.

Elly’s Mersina & Hendra Erik Rudyanto. 2015. Matematika 2. Madiun : Ikip PGRI Madiun.

Suharyadi, & Purwanto S. K. (2007). Statistika: Untuk Ekonomi dan Keuangan Modern, Edisi 2. Jakarta: Penerbit Salemba Empat.

http://asumsi-kurva-normal.blogspot.com/2010/03/konsep-dasar-aplikasi-kurva-normal.html

http://hatta2stat.wordpress.com/category/distribusi-normal-2/

http://www.ilerning.com/index.php?option=com_content&view=article&id=1270:distribusi-normal-standard-baku&catid=38:distribusi-normal&Itemid=70

http://ilab.gunadarma.ac.id/modul/NewATA/Modul%20ATA/Statistika%202%20Akun/M4.pdf

http://www.slideshare.net/IpinaSevenfoldism/distribusi-normal-kel-9

https://www.google.com/search?client=firefox-a&hs=gRh&rls=org.mozilla:id:official&q=distribusi+normal+baku&spell=1&sa=X&ei=MB3KUvmfMYmziAeju4HwDA&ved=0CCYQ

http://www.anitaharum.wordpress.com/2013/11/12/distribusi-normal-kurva-normal/karakteristik 

http://analisis-statistika.blogspot.in/2013/03/mengenal-distribusi-normal-dan-cara.html